テニスの確率論
テニスは強いものが必ず勝つ

1.　ポイントの仕組み 　テニスの基本は4ポイントを先取して1ゲームをとり、6ゲームを先取して1セットを とることです。3セット・マッチでは2セットを先取、プロの試合のように 5セット・マッチでは3セットを先取すると試合に勝つわけです。 　この仕組みは番狂わせをほとんどなくしています。 1ゲームをとるためには4ポイントを先取しなければなりません。一発勝負では まぐれもあるでしょうが、4ポイントもやれば強いほうが勝つ可能性が 高そうですよね。1セットをとるためには、さらに6ゲームを先取しなければならない のですから、益々強い方が勝ちそうですね。 テニスでは、野球のように、一球の失投で逆転サヨナラ・ホームランという 劇的なことは起こらないのです。 2.　数学的検討 2.1　仮定 　数学的に検討してみましょう。簡単のために（どんな解析でもすぐに「簡単のために」 と言います。実はこれが曲者なのですが、概要を掴むには必要なのです）、 シングルスの場合で、前のポイントの結果はすぐに忘れてしまい次のポイントには なんら影響しないものとし、周りの黄色い声援もこの二人には何の影響も与えず、 途中でどちらかが肉離れを起こすこともなく、昨晩のアルコールの影響度も 同じだとします。（何のこっちゃ） 　選手Aと選手Bの試合です。あるポイントを選手Aがとる確率をa、選手Bがとる 確率をbとします。この場合（a＋b＝1）です。 2.2　ゲームをとる確率 　まず、1ゲームを考えます。ポイントの進み方は、最初は1−0（フィフティーン・ラブ） か0−1（ラブ・フィフティーン）になりますね。（選手Aのポイントを先に示します） 最初1−0になった場合は、次のポイントで2−0か1−1になります。 これを1ゲームが終わるまで続けると下表のようになります。 勝負の場合分け 発生確率 場合の出現回数 Aが4−0で勝 a4 1 Aが4−1で勝 a4×b 4 Aが4−2で勝 a4×b2 10 デュース a3×b3 20 Bが4−0で勝 b4 1 Bが4−1で勝 b4×a 4 Bが4−2で勝 b4×a2 10 　上の表の結果から、選手Aがゲームをとる確率は、 　　　a4＋4a4b＋10a4b2 であり、選手Bがゲームをとる確率は、 　　　b4＋4b4a＋10b4a2 となります。デュースになる確率は、 　　　20a3b3 です。 　aとbに具体的な値を入れてちょっと計算してみましょう。たとえばa＝0.55、 b＝0.45とします。とても拮抗した試合になるはずですね。この場合、選手Aがゲーム をとる確率は0.442、選手Bがゲームをとる確率は0.255となり、0.303の確率で デュースになります。 　さて、デュースになった場合にどのように決着がつくかが問題です。デュース の後は2ポイント連取したほうが勝ちですね。ということは、選手Aがデュース･ゲーム をとる確率はa2で、選手Bがデュース･ゲームをとる確率はb2 となります。でも、デュース・アゲインがあります。 この確率は1−a2−b2です。 我々草テニスではノー･アドバンテージのゲームもありますが、デュース･アゲインの 後は理論的には無限に続く可能性もあります。このことを考慮すると、選手Aがゲーム をとる確率は次の式で計算できます。無限級数など出てきてテニスも難しいな。 　 　同様に選手Bがゲームをとる確率は次の式で計算できます。 　先ほどのa＝0.55、b＝0.45の場合を計算すると、選手Aがゲームをとる確率は 0.623、選手Bがゲームをとる確率は0.377となります。最初のポイントをとる 確率は拮抗していましたが、ゲームをとる確率は選手Aがだいぶ有利 になったと思いませんか。 2.3　セットをとる確率 　ではセットを見てみましょう。ゲームの場合と同じように、最初は1−0か0−1に なります。1−0になった次は2−0か1−1になりますね。このように見ていくと 下表のような場合分けが得られます。選手Aがゲームをとる確率をpとし、 選手Bがゲームをとる確率をqとして発生確率を示しています。 勝負の場合分け 発生確率 出現回数 Aが6−0で勝ち p6 1 Aが6−1で勝ち p6×q 6 Aが6−2で勝ち p6×q2 21 Aが6−3で勝ち p6×q3 56 Aが6−4で勝ち p6×q4 126 セットオール5-5 p5×q5 252 Bが0−6で勝ち q6 1 Bが1−6で勝ち p×q6 6 Bが2−6で勝ち p2×q6 21 Bが3−6で勝ち p3×q6 56 Bが4−6で勝ち p4×q6 126 　上の表の結果から、選手Aがセットをとる確率は、 　　　p6＋6p6q＋21p6q2＋56p6q3＋126p6q4 であり、選手Bがセットをとる確率は、 　　　q6＋6q6p＋21q6p2＋56q6p3＋126q6p4 となります。セットオールになる確率は、 　　　252p5q5 です。 　先ほどのa＝0.55、b＝0.45の場合には、p＝0.623、q＝0.377でしたから、 上の式で計算すると、選手Aがセットをとる確率は0.690、選手Bがセットをとる 確率は0.130、セットオールになる確率は0.180となります。 　タイブレークもありますが、セットオールの後はどちらかが2ゲーム連取しないと 勝負が決まりません。理論的にはデュースの場合と同じように無限に繰り返される ことになります。1回目のセットオールの後選手Aがセットをとる確率はp2、 選手Bがセットをとる確率はq2、2回目のセットオール（6−6）になる 確率は1−p2−q2ですから、選手Aがセットをとる確率は 次の式で計算できます。 同様に選手Bがセットをとる確率は次の式で計算できます。 　先ほどのa＝0.55、b＝0.45の場合を計算すると、選手Aがセットをとる確率は 0.822、選手Bがセットをとる確率は0.178となります。最初のポイントをとる 確率は拮抗していましたが、何とセットをとる確率ではほとんど選手Bには 勝つ可能性がないのです。 2.4　3セット・マッチ，5セット・マッチに勝つ確率 　ついでに、3セット・マッチ，5セット・マッチの場合を計算してみましょう。 これは簡単です。選手Aがセットをとる確率をr、選手Bがセットをとる確率をs とすると、選手Aが3セット･マッチを制する確率は次の式で計算できます。 　　r2＋2r2s 同様に選手Bが3セット･マッチを制する確率は次の式で計算できます。 　　s2＋2s2r 先と同じ例で計算すると、選手Aが3セット･マッチを制する確率は0.916、 選手Bが3セット･マッチを制する確率は0.084になります。 　選手Aが5セット･マッチを制する確率は次の式で計算できます。 　　r3＋3r3s＋6r3s2 選手Bが5セット･マッチを制する確率は次の式で計算できます。 　　s3＋3s3r＋6s3r2 同じ例で計算すると、選手Aが5セット･マッチを制する確率は0.957、 選手Bが5セット･マッチを制する確率は0.043になります。 　なんとなんと、グランドスラムの男子の試合のように5セットマッチでは、 ポイントをとる確率で少しでも劣っていると、計算上試合に勝つ確率は ほとんどないのです。 2.5　シミュレーション 　びっくりしたでしょう。ポイントをとる確率は拮抗しているのに、選手Bが勝つ 確率は1セット･マッチでは0.178、3セット･マッチでは0.084、5セット･マッチでは 0.043しかないのです。でも悲観することはありません。実際にはもっと様々な要素 が絡み合いますので、計算どおりにはいきませんよね。 　数字が一杯で御免なさい。お付き合い有難うございました。 　なお、選手Aがポイントをとる任意の確率でシミュレーションをしてみたい方は こちらへどうぞ。

Last Update : 03/09/15
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